函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于關(guān)于y=x對(duì)稱。如果設(shè)(a,b)是y=f(x)的圖像上任意一點(diǎn)，即b=f(a)。根據(jù)反函數(shù)的定義，有a=f-1(b)，即點(diǎn)(b,a)在反函數(shù)y=f-1(x)的圖像上。而點(diǎn)(a,b)和(b,a)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，由(a,b)的任意性可知f和f-1關(guān)于y=x對(duì)稱。

反函數(shù)的性質(zhì)

（1）函數(shù)f(x)與它的反函數(shù)f-1(x)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；函數(shù)及其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

（2）函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；

（3）一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；

（4）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（當(dāng)函數(shù)y=f(x)，定義域是{0}且f(x)=C（其中C是常數(shù)），則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且有反函數(shù)，其反函數(shù)的定義域是{C}，值域?yàn)閧0}）。奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，被與y軸垂直的直線截時(shí)能過(guò)2個(gè)及以上點(diǎn)即沒(méi)有反函數(shù)。若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。

（5）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性；

（6）嚴(yán)增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)；

（7）反函數(shù)是相互的且具有唯一性；

（8）定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆（三反）；

（9）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：如果x=f(y)在開(kāi)區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)，可導(dǎo)，且f'(y)≠0，那么它的反函數(shù)y=f-1(x)在區(qū)間S={x|x=f(y),y∈I}內(nèi)也可導(dǎo)；

（10）y=x的反函數(shù)是它本身。