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偶函數(shù)。奇函數(shù)有關(guān)系:f(-x)=-f(x)。那么,它的絕對值函數(shù)則有:|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|。所以,奇函數(shù)的絕對值函數(shù)是偶函數(shù)。
1.兩個奇函數(shù)相加所得的和或相減所得的差為奇函數(shù)。
2.一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函數(shù)。
3.兩個奇函數(shù)相乘所得的積或相除所得的商為偶函數(shù)。
4.一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積或相除所得的商為奇函數(shù)。
5.當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=0(定義域關(guān)于原點對稱)時,f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零。
(1) 兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).
(2) 兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).
(3) 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).
(4) 兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(5) 兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(6) 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).
(7)奇函數(shù)一定滿足f(0)=0(因為F(0)這個表達(dá)式表示0在定義域范圍內(nèi),F(xiàn)(0)就必須為0)所以不一定奇函數(shù)有f(0),但有F(0)時F(0)必須等于0,不一定有f(0)=0,推出奇函數(shù),此時函數(shù)不一定為奇函數(shù),例f(x)=x^2.
(8)定義在R上的奇函數(shù)f(x)必滿足f(0)=0;因為定義域在R上,所以在x=0點存在f(0),要想關(guān)于原點對稱,在原點又只能取一個y值,只能是f(0)=0。這是一條可以直接用的結(jié)論:當(dāng)x可以取0,f(x)又是奇函數(shù)時,f(0)=0)。
(9)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=0(定義域關(guān)于原點對稱)時,f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。
(10) 在對稱區(qū)間上,被積函數(shù)為奇函數(shù)的定積分為零。
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