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高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)歸納
一.知識(shí)歸納:
1.集合的有關(guān)概念。
1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素
注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類(lèi)似。
②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互異性(若a?A,b?A,則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。
③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件
2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類(lèi):有限集,無(wú)限集,空集。
4)常用數(shù)集:N,Z,Q,R,N
2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。
1)子集:若對(duì)x∈A都有x∈B,則A B(或A B);
2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;記為A B(或,且 )
3)交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}
4)并集:A∪B={x| x∈A或x∈B}
5)補(bǔ)集:CUA={x| x A但x∈U}
注意:①? A,若A≠?,則? A ;
②若, ,則 ;
③若且 ,則A=B(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào),特別要注意以下的符號(hào):(1) 與、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。
4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;
④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)
①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A;
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;
6.有限子集的個(gè)數(shù):設(shè)集合A的元素個(gè)數(shù)是n,則A有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)非空子集,2n-2個(gè)非空真子集。
二.例題講解:
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},則M,N,P滿(mǎn)足關(guān)系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一:對(duì)于集合M:{x|x= ,m∈Z};對(duì)于集合N:{x|x= ,n∈Z}
對(duì)于集合P:{x|x= ,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以M N=P,故選B。
分析二:簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。
解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,
= P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以選B。
點(diǎn)評(píng):由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題,因此提倡思路一,但思路二易人手。
變式:設(shè)集合, ,則( B )
A.M=N B.M N C.N M D.
解:
當(dāng)時(shí),2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選B
【例2】定義集合A_={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},則A_的子集個(gè)數(shù)為
A)1 B)2 C)3 D)4
分析:確定集合A_子集的個(gè)數(shù),首先要確定元素的個(gè)數(shù),然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。
解答:∵A_={x|x∈A且x B}, ∴A_={1,7},有兩個(gè)元素,故A_的子集共有22個(gè)。選D。
變式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,則6?a∈M,那么集合M的個(gè)數(shù)為
A)5個(gè) B)6個(gè) C)7個(gè) D)8個(gè)
變式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解:由已知,集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評(píng)析本題集合A的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù),所以共有個(gè) .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。
解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1,
∴ ∴
變式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求實(shí)數(shù)b,c,m的值.
解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿(mǎn)足:A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1
分析:先化簡(jiǎn)集合A,然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B,哪些元素不屬于B。
解答:A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B,而(-∞,-2)∩B=ф。
綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
變式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
點(diǎn)評(píng):在解有關(guān)不等式解集一類(lèi)集合問(wèn)題,應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法,作出數(shù)軸來(lái)解之。
變式2:設(shè)M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有滿(mǎn)足條件的a的集合。
解答:M={-1,3} , ∵M(jìn)∩N=N, ∴N M
①當(dāng)時(shí),ax-1=0無(wú)解,∴a=0 ②
綜①②得:所求集合為{-1,0, }
【例5】已知集合 ,函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域?yàn)镼,若P∩Q≠Φ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析:先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用參數(shù)分離求解。
解答:(1)若 , 在 內(nèi)有有解
令當(dāng) 時(shí),
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式:若關(guān)于x的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解答:
點(diǎn)評(píng):解決含參數(shù)問(wèn)題的題目,一般要進(jìn)行分類(lèi)討論,但并不是所有的問(wèn)題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。
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